[생활수학] 내가 찬 축구공의 궤적을 계산해보자!

네이버 지식인에 질문이 있어 엑셀로 한 번 계산해봤습니다.

축구공 궤적을 계산하는 엑셀

축구공 궤적 계산 엑셀 시트

 

 

전제 조건

일단 공기의 저항은 무시했습니다. 너무 복잡해지고 사실 어떻게 반영해야 할지도 모르겠습니다. 구형의 물체가 공기의 저항을 얼마나 받는지 그 자체도 어려운 문제고, 공이 회전함에 따라 온갖 양상이 벌어집니다. 그래서 문제는 최대한 단순화시키는 게 좋습니다 ^-^;; 그래서 공기는 없앴습니다!!

 

공의 궤적 이론

공의 방향과 속력

공을 차면 앞으로 나가가겠지만, 위로도 뜹니다. 얼마나 뜨는지는 초기 각도(angle)를 입력 변수를 둡니다.

그리고 얼마나 빠른 속력으로 찼는지에 대한 초기 속력(v_0)을 입력 변수로 둡니다. 

 

 

초기에 대각선으로 날아간 공의 속력을 v_x와 v_y로 나누어야 합니다.

삼각함수가 이럴 때 쓰입니다. 엑셀을 쓰면 자동으로 계산해주니 원리만 아시면 됩니다.

맨 우측 그림으로 부터 수식 도출	각각의 속력에 대한 수식으로 정리
v_x / v_0 = cos(angle) v_y / v_0 = sin(angle)	v_x = cos(angle) * v_0 v_y = sin(angle) * v_0

 

시간에 따른 이동 거리

거리(m) = 속력(m/sec) * 시간(sec)

등속도 운동의 거리의 공식에 따라 x축과 y축에 대한 시간 별 위치를 계산할 수 있게 됩니다.

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※ y축의 운동은 중력이 추가로 작용하므로 다음 공식 유도 포스팅을 참고하세요.

포물선 운동 - 등가속도 운동 공식 유도

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축구공 궤적 공식

x = v_x * t

y = v_y * t - 0.5 * g * t^2 (위로 올라가던 축구공은 중력에 의해 속력이 줄어들다가 결국 아래로 떨어짐) 

 

 

엑셀로 구현

각 축의 속력 계산 시 주의할 점은, 엑셀의 sine, cosine함수는 radian 값을 받는다는 것입니다. 그래서 각도(degree)에 radians함수를 사용하여 변환이 필요합니다.  ※ 90˚ = 1/2 π, 180˚ = π

 

 

 

차트는 시간(t)까지 표현할 수 없으므로 x, y열만 선택하고 분산형으로 삽입합니다.

y축의 값이 0 보다 작은 경우는 땅 밑으로 꺼졌다는 의미라, 조건부 서식으로 빨갛게 표시되도록 했습니다.

 

이상입니다!